Mathematik in der Musik

Die Naturtonreihe

ist wesentlich für das Verständnis des europäischen Tonsystems und damit auch für den Zusammenhang zwischen Mathematik und Musik 

  • Töne von Blasinstrumenten stammen von stehenden Wellen
  • Naturtonreihe wird durch Variation des Anblasens hervorgebracht
  • tiefster Ton=Grundton
  • Index des Tons in der Naturtonreihe entspricht der Vervielfachung der Grundschwingung

Die Naturtonreihe mit Grundton C

Wann klingt ein Intervall konsonant?

Intervalle

Schwingungsverhältnis eines Intervalls entspricht dem Verhältnis der Indizes in der Naturtonreihe

Beispiel Oktave: C auf C

Verhältnis der Indizes: 

⇒ Schwingungsverhältnis Oktave: 2/1

⇒ Verdopplung der Frequenz eines Tones: Oktave

\frac{16}{8}=\frac{8}{4}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}

Je kleiner die ganzen Zahlen beim Verhältnis der Frequenzen, also je eher sich die Kurven wieder schneiden, desto konsonanter klingt das Intervall.

\frac{rot}{grün}=\frac{5}{4}=gr.Terz
\frac{orange}{grün}=\frac{3}{2}=Quinte
\frac{orange}{rot}=\frac{6}{5}=kl.Terz

Zusammenhang der Intervalle mit rechtwinkligen Dreiecken

Verhältnisse beim einfachsten pythagoräischen Zahlentripel

\frac{5}{4}; \frac{4}{3}; \frac{5}{3}

Diese Verhältnisse kommen auch im Moll-Dreiklang in der 1. Umkehrung vor.

Dieser beginnt mit einer großen Terz (5/4) auf die eine Quarte (4/3) folgt. Beide Intervalle zusammen ergeben eine große Sexte (5/3)

\frac{5}{4}; \frac{4}{3}; \frac{5}{3}

Länge/Frequenz einer Flöte:

  • Länge
     
  • will man die Frequenz verdoppeln, muss man die Rohrlänge halbieren
  • interaktives Beispiel: Flöten mit pythagoräischem Frequenzverhältnis
l=\frac{c}{2f}
l \cdot f=konst.

Das pythagoräische Komma

Grundlage: Die Quinte

  • entsteht durch die Verdreifachung der Grundschwingung
  • wichtigstes Intervall der westlichen 12-Ton Musik
  • ⇒ bildet man auf einen Ton 12 Mal die Quinte, erhält man alle 12 Töne

Pythagoräische Stimmung

  • Quinte als Grundlage
  • nach 12 Quinten erreicht man den gleichen Ton
  • Frequenzverhältnis dieser 12 Quinten berechnet sich wie folgt

"Klavier-" Stimmung

  • Auf dem Klavier entspricht die Taste nach 12 Quinten derer nach 7 Oktaven
  • Die Frequenz, berechnet auf diesen beiden unterschiedlichen Wegen, muss die gleiche sein
(\frac{3}{2})^{12}
--- 7 Oktaven/12 Quinten ---
(\frac{3}{2})^{12}\neq (\frac{2}{1})^7

Pythagoräisches Komma:

\frac{(\frac{3}{2})^{12}}{2^7}=1,01364

⇒ Klavier kann nicht nach pythagoräischer Stimmung (also nach Quinten) gestimmt sein

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